Álgebra lineal Ejemplos

$y = \frac{3}{4} x - 3$ , $y = - \frac{2}{5} x + 1$

Paso 1

Combina $\frac{3}{4}$ y $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} - 3, y = - \frac{2}{5} x + 1$

Paso 2

Resta $\frac{3 x}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$y - \frac{3 x}{4} = - 3, y = - \frac{2}{5} x + 1$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Combina $x$ y $\frac{2}{5}$ .

$y - \frac{3 x}{4} = - 3, y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 1$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{3 x}{4} = - 3, y = - \frac{2 x}{5} + 1$

Paso 4

Suma $\frac{2 x}{5}$ a ambos lados de la ecuación.

$y - \frac{3 x}{4} = - 3, y + \frac{2 x}{5} = 1$

Paso 5

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{4} & 1 & - 3 \\ \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 6

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 6.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{4}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 6.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{4}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{4}) & - \frac{4}{3} \cdot 1 & - \frac{4}{3} \cdot - 3 \\ \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 6.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 4 \\ \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 6.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{5} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 6.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{5} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 4 \\ \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1 & 1 - \frac{2}{5} (- \frac{4}{3}) & 1 - \frac{2}{5} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 6.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 4 \\ 0 & \frac{23}{15} & - \frac{3}{5} \end{array}]$

Paso 6.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{15}{23}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 6.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{15}{23}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 4 \\ \frac{15}{23} \cdot 0 & \frac{15}{23} \cdot \frac{23}{15} & \frac{15}{23} (- \frac{3}{5}) \end{array}]$

Paso 6.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 4 \\ 0 & 1 & - \frac{9}{23} \end{array}]$

Paso 6.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 6.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & 4 + \frac{4}{3} (- \frac{9}{23}) \\ 0 & 1 & - \frac{9}{23} \end{array}]$

Paso 6.4.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{80}{23} \\ 0 & 1 & - \frac{9}{23} \end{array}]$

Paso 7

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x = \frac{80}{23}$

$y = - \frac{9}{23}$

Paso 8

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(\frac{80}{23}, - \frac{9}{23})$

Paso 9

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{80}{23} \\ - \frac{9}{23} \end{array}]$